Permutasi dan kombinasi (MatDis)

Permutasi
Permutasi adalah  sebuah konsep penyusunan sekumpulan objek/angka menjadi beberapa urutan berbeda tanpa mengalami pengulangan.
Di dalam permutasi, urutan sangat diperhatikan. setiap objek yang dihasilkan harus berbeda antara satu dengan yang lain. kita ambil contoh, urutan huruf ({ABC} berbeda dengan {CAB} begitu juga dengan {BAC) dan {ACB}). Rumus untuk mencari banyaknya permutasi n unsur jika disusun pada unsur k di mana k ≤ n adalah:

Rumus Permutasi


P(n,k) =   n!  
  (n-k)!

Prinsip Perkalian :
Jika sebuah aktivitas bisa dibentuk dalam t langkah berurutan dan langkah 1 bisa dilakukan dalam n1 cara; langkah kedua bisa dilakukan dalam n2 cara; ….; langkah t bisa dilakukan dalam nt cara, maka banyaknya aktivitas berbeda yang mungkin adalah n1.n2….nt.

Prinsip Penjumlahan :
Andaikan bahwa X1, X2, …., Xt merupakan sebuah himpunan-himpunan dan himpunan ke-i Xi mempunyai ni anggota. Jika {X1, X2, …., Xt} merupakan sebuah famili saling lepas (yakni, jika , Xi  Xj = Ø), maka banyaknya anggota yang mungkin bisa dipilih dari X1 atau X2 atau … atau Xt adalah n1+n2+…+nt.

Contoh Soal 
Berapakah banyaknya bilangan yang dibentuk dari 2 angka berbeda yang dapat kita susun dari urutan angka 4, 8, 2, 3, dan 5?
Pembahasan:
Pertanyaan di atas dapat disimpulkan sebagai permutasi yang terdiri dari 2 unsur yang dipilih dari 5 unsur maka dapat dituliskan sebagai P(5,2). tinggal kita masukkan ke dalam rumus.

P(5,2) =   5!     = 5x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 = 20
                  (5-2)!        3 x 2 x 1              6

Maka ada 20 cara yang dapat dilakukan untuk menysyn bilangan tersebut menjadi 2 angka yang berbeda-beda (48, 42, 43, 45, 84, 82, 83, 85, 24, 28, 23, 25, 34, 38, 32, 35, 54, 58, 53, 52).

Kombinasi
kombinasi merupakan sebuah kumpulan dari sebagian atau seluruh objek dengan tidak memperhatikan urutannya. di dalam kombinasi, {AB} dianggap sama dengan {BA} sehingga sebuah kombinasi dari dua objek yang sama tidak dapat terulang.

Rumus kombinasi dari suatu himpunan yang mempunyai n elemen dapat dituliskan sebagai berikut:

Rumus Kombinasi

C(n,r) = nCr = nCr =     n!     
                                     r!(n-r)!

Mari kita amati penggunaan rumus tersebut untuk menyelesaikan soal-soal di bawah ini:


Contoh Soal
Manuel Pelegrini membawa 16 pemain saat Manchester City melawan Liverpool di Etihad Stadium. 11 orang diantaranya akan dipilih untuk bermain pada babak pertama. jika kita tidak memperhatikan posisi pemain, berapakah banyaknya cara yang dapat diambil oleh pelatih untuk memilih pemain?

Pembahasan:
Karena tidak mementingkan posisi pemain, maka kita gunakan rumus kombinasi:

C(16,11) =       16!        =  16 x 15 x 14 x 13 x 12 x 11!  
                   11!(16-11)!                      11!5!                          

=          524160         =  524160  = 4368
        5x4x3x2x1                120

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Graf Planar (Matematika diskrit)

Gambar
Graf Planar (Planar Graph) dan Graf Bidang (Plane Graph)      Graf yang dapat digambarkan pada bidang datar dengan sisi-sisi tidak saling memotong (bersilangan) disebut graf planar, jika tidak, maka ia disebut graf tak-planar.    K4 adalah graf planar: K5 adalah graf tidak planar: Graf planar yang digambarkan dengan sisi-sisi yang tidak saling berpotongan disebut graf bidang (plane graph). Aplikasi Graf Planar Persoalan utilitas (utility problem)    Aplikasi Graf Planar ·          Perancangan IC (Integrated Circuit) ·          Tidak boleh ada kawat-kawat di dalam ICboard yang saling bersilangan  dapat menimbulkan interferensi arus listrik  malfunction ·          Perancangan kawat memenuhi prinsip graf planar Misalkan graf sederhana planar memiliki 24 buah simpul, masing-masing simpul berderajat 4. Representasi planar dari graf tersebut membagi bidang datar menjadi sejumlah wilayah atau muka. Berapa banyak wilayah yang terbentuk? Jawaba
Baca selengkapnya

Infix Prefix Postfix Matematika diskrit

Gambar
INFIX  ↔  PREFIX  ↔  POSTFIX Jika diketahui  postfix :  A B * C / D E F - ^ + Tentukan (a) prefix (b) infix, dan (c) struktur pohonnya . Caranya: Kita dapat memperingkas soal. Karena bentuk umum dari postfix adalah AB+ (operatornya di belakang), maka mari kita satukan bentuk notasi postfix di atas yang sesuai dengan bentuk umumnya: A B *  C / D  E F -  ^ +     G    C /   D    H   ^  +        I           J          + Hasil ringkasan adalah “I J +“, ini yang kita jadikan modal. a.        Prefix Bentuk umum dari  prefix  adalah + A B (operatornya di depan), sehingga, notasi postfix “I J +” menjadi “ + I J ” pada prefix. “I” berasal dari “GC/” yang prefixnya adalah “/GC”, sehingga hasil gabungan dengan sebelumnya menjadi: “ + / G C J ” “G” berasal dari “AB*” yang prefixnya adalah “*AB”, sehigga hasil gabungan dengan sebelumnya menjadi: “ + / * A B C J ” “J” berasal dari “DH^” yang prefixnya adalah “^DH”, sehigga hasil gabungan dengan sebelumnya menjadi: “ +
Baca selengkapnya

Tree (pohon) Matematika Diskrit

Gambar
Definisi Pohon dan Hutan   Pohon (tree) telah digunakan sejak tahun 1857 oleh matematikawan Inggris yang bernama Arthur Cayley untuk menghitung jumlah senyawa kimia.Silsilah keluarga biasanya juga digambarkan pasa bentuk pohon. Pohon (tree) adalah merupakan graf yang tak berarah terhubung yang tidak memuat sirkuit sederhana. D iagram pohon dapat digunakan sebagai alat untuk memecahkan masalah dengan menggambarkan semua alternative    pemecahan. Jadi, dapat disimpulkan bahwa pohon adalah suatu graph yang banyak vertexnya sama dengan n (n>1), jika : ~  Graph tersebut tidak mempunyai lingkar (cycle free) dan banyaknya rusuk (n-1). ~ Graph tersebut terhubung . Contoh   :   Berikut   adalah   beberapa   sifat   pohon   : 1. Misalkan  G   merupakan   suatu   graf   dengan   n   buah   simpul   dan   tepat   n   –   1   buah   sisi. 2. Jika   G   tidak   mempunyai   sirkuit   maka   G   merupakan   pohon. 3. Suatu   pohon   dengan   n  buah   simpul   mempunyai   n
Baca selengkapnya