Relasi Dan Fungsi (Matematika Distkrit)

Pengertian Relasi

Relasi adalah suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan satu ke himpunan lain.

Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan atau perkawanan atau korespondensi dari anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan B.

Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B dengan aturan tertentu.

Contoh : Misalkan A = {Amir, Budi, Cecep}, B = {IF221, IF251, IF342, IF323} A  B = {(Amir, IF221), (Amir, IF251), (Amir, IF342), (Amir, IF323), (Budi, IF221), (Budi, IF251), (Budi, IF342), (Budi, IF323), (Cecep, IF221), (Cecep, IF251), (Cecep, IF342), (Cecep, IF323) }

Misalkan R adalah relasi yang menyatakan mata kuliah yang diambil oleh mahasiswa pada Semester Ganjil, yaitu

R = {(Amir, IF251), (Amir, IF323), (Budi, IF221), (Budi, IF251), (Cecep, IF323) }

- Dapat dilihat bahwa R  (A  B), - A adalah daerah asal R, dan B adalah daerah hasil R. - (Amir, IF251)  R atau Amir R IF251 - (Amir, IF342)  R atau Amir R IF342.

4 cara menyatakan relasi, yaitu:

1. Himpunan Pasangan Berurutan.

Himpunan yang anggotanya semua pasangan berurutan (x,y) dinamakan himpunan pasangan berurutan.



2. Diagram Panah

Langkah-langkah cara menyatakan relasi dengan diagram panah:

1.Membuat dua lingkaran atau ellips

2.Untuk meletakkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B x=A diletakkan pada lingkaran A dan y=B diletakkan pada lingkaran B

3. x dan y dihubungkan dengan anak panah

4. Arah anak panah menunjukkan arah relasi

5. Anak panah tersebut mewakili aturan relasi
3. Diagram Cartesius

Pada diagram cartesius diperlukan dua salib sumbu yaitu; sumbu mendatar (horisontal) dan sumbu tegak (vertikal) yang berpotongan tegak lurus.

1. x=A diletakkan pada sumbu mendatar

2. y=B diletakkan pada sumbu tegak

3. Pemasangan (x,y) ditandai dengan sebuah noktah yang koordinatnya ditulis sebagai pasangan berurutan (x,y)




4. Dengan Rumus

f(x) = x + 1, di mana x = {0, 1, 2, 5} dan f(x) = {1, 2, 3, 4, 6}

 Sifat-Sifat Relasi

1.) R adalah refleksif jika aRa untuk setiap a di A.
     Contoh:
 A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka:

  Relasi R = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4) } bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi yang berbentuk (a, a), yaitu (1, 1), (2, 2), (3, 3), dan (4, 4).

    Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4) } tidak bersifat refleksif karena (3, 3) Ï R.

2.) R adalah simetris (setangkup) jika aRb maka bRa  dan R adalah anti simetris (tolak
     setangkup) jika aRb dan bRa maka a = b.
     Contoh:
     Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka

  Relasi R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4) } bersifat setangkup karena jika (a, b) ΠR maka (b, a) juga ΠR. Di sini (1, 2) dan (2, 1) ΠR, begitu juga (2, 4) dan (4, 2) ΠR.

    Relasi R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidak setangkup karena (2, 3) ΠR, tetapi (3, 2) Ï R.

Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3) } tolak-setangkup karena 1 = 1 dan (1, 1) ΠR, 2 = 2 dan (2, 2) ΠR, dan 3 = 3 dan (3, 3) ΠR. Perhatikan bahwa R juga setangkup.

  Relasi R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3) } tolak-setangkup karena (1, 1) ΠR dan 1 = 1 dan, (2, 2) ΠR dan 2 = 2 dan. Perhatikan bahwa R tidak setangkup.

 Relasi R = {(1, 1), (2, 4), (3, 3), (4, 2) } tidak tolak-setangkup karena 2 ¹ 4 tetapi (2, 4) dan (4, 2) anggota R. Relasi R pada (a) dan (b) di atas juga tidak tolak-setangkup.

      Relasi R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3) } setangkup dan juga tolak-setangkup, dan R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (3, 3)} tidak setangkup tetapi tolak-setangkup.

3.) Relasi R pada himpunan A disebut menghantar (transitif)  jika (a, b) ΠR dan (b, c) ΠR, maka (a, c) ΠR, untuk a, b, c Î A.

Contoh:

Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka

R = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3) } bersifat menghantar. Lihat tabel berikut: 

Pasangan berbentuk

(a, b)      (b, c) (a, c)

(3, 2)       (2, 1) (3, 1)

(4, 2)       (2, 1) (4, 1)

(4, 3)       (3, 1) (4, 1)

(4, 3)       (3, 2) (4, 2)

Relasi Kesetaraan

Definisi; Relasi pada himpunan disebut relasi kesetaraan(equivalence relation) jika

ia refleksif, setangkup (simetri) dan menghantar (Transitif).

Contoh:

A = {1,2,3}

R = {(1,1),(1,2), (1,3),(2,1), (2,2),(2,3), (3,1),(3,2),(3,3)}

Refleksif = {(1,1),(2,2), (3,3)}

Transitif = {(1,2),(2,1), (1,1),(2,3), (3,2),(2,2), (3,1),(1,3),(3,3)}

Simeris ={(1,2),(2,1), (1,3),(3,1), (3,1),(2,3), (3,2)}

Definisi Fungsi

Fungsi f adalah suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota x dalam suatu himpunan yang disebut daerah asal (Domain) dengan suatu nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua yang disebut daerah kawan (Kodomain).

Himpunan nilai yang diperoleh dari relasi tersebut disebut daerah hasil ( Range).

Untuk memberi nama suatu fungsi dipakai sebuah huruf tunggal seperti f, g, dan huruf

lainnya. Maka f(x), yang di baca “ f dari x “ menunjukkan nilai yang diberikan oleh f

kepada x. Misalkan : f(x) = x+ 2, maka f(3) = 3 + 2.

ü  Domain yaitu daerah asal fungsi f dilambangkan dengan Df.

ü  Kodomain yaitu daerah kawan fungsi f dilambangkan dengan Kf.

ü  Range yaitu daerah hasil yang merupakan himpunan bagian dari
   kodomain. Range fungsi fdilambangkan dengan Rf.

Ø  Sifat-Sifat Fungsi
1.) Onto (surjektif) , apabila semua anggota di kodomain B punya pasangan.

      Contoh :
      Diberikan Himpunan A = {2,3,5} dan B = {6,7} jika F : A → B dengan F
      = { (2,6), (3,6), (5,7) } apakah fungsi f adalah fungsi onto (surjektif)? YA

2.) Into , semua anggota A harus terisi semua sedaang di B tidak apa-apa bila tidak
     terisi semua.
     Contoh:
     Deketahui himpunan A= {ayam,burung,sapi,kambing} dan B =
    {omnivora,karnivo,herbivora} jika F : A → B dengan F =

    {(ayam,omnivora), (burung,omnivora), (sapi,herbivora), (kambing,herbivora)}
    terjadi apakah fungsi F adalah into? YA

3.) Bijektif (satu-satu), gabungan dari injektif dan surjektif dimana anggota di A harus
     punya pasangan yang berbeda dan anggota B harus terisi semua serta isi domain

     dan kodomain harus sama (maksud nya jika anggota A 4 maka anggota B juga

     harus 4).

     Contoh :
      Diberikan Himpunan A = {1,2,3} dan B = {a,b,c} jika F : A → B dengan F
      = { (1,a), (2,c), (3,b) } apakah fungsi f adalah fungsi bijektif? YA